Question

6．E、F为?ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①
（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表长度单位：cm

	AQ长度	BQ长度	AQ、BQ间的关系
图①中	2.7	0.9	AQ=3BQ
图②中	3.3	1.1	AQ=3BQ

由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3BQ
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）先完成图②，然后通过实际测量得到AQ和BQ的长，再判断它们的数量关系；
（2）根据平行四边形的性质得DC∥AB，则可判断△DPE∽△BAE，利用相似比可得AB=2DP，同理可得BQ=$\frac{1}{2}$DP，则AB=4BQ，所以AQ=3BQ．

解答 解：（1）图①中，AQ=2.7，BQ=0.9，即AQ=3BQ；
如图②，AQ=3.3，BQ=1.1，即AQ=3BQ；
由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3BQ．
故答案为：2.7，0.9，AQ=3BQ；3.3，1.1，AQ=3BQ；AQ=3BQ；
（2）成立．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DPE∽△BAE，
∴$\frac{DP}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，
∵E F为BD三等分点，
∴BE=2DE，
∴$\frac{DP}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即AB=2DP，
同理可得△DPF∽△BQF，
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{DF}{BF}$=2，
∴BQ=$\frac{1}{2}$DP，
∴AB=4BQ，
∴AQ=3BQ．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了平行四边形的性质和通过实际操作探索问题的结论．