Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得， ，解得 ，

故抛物线对应的函数的解析式为y=x2﹣2x+1

（2）

解：①将y=x2﹣2x+1向下平移m个单位得：y=x2﹣2x+1﹣m=（x﹣1）2﹣m，

令y=x2﹣2x+1﹣m=（x﹣1）2﹣m=0，

解得x=1﹣ 或x=1+ ，

可知A（1，﹣m），B（1﹣ ，0），C（1+ ，0），BC=2 ，

过点A作AH⊥BC于H，

∵△ABC为等边三角形，

∴BH=HC= BC，∠CAH=30°，

∴AH= ，即 =m，

由m＞0，解得m=3．

②在抛物线上存在点P，能使四边形CBDP为菱形．理由如下：

∵点D与点A关于x轴对称，

∴D（1，3），

①当DP为对角线时，显然点P在点A位置上时，符合题意，

故此时点P坐标为（1，﹣3）；

②当DP为边时，要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由点D的坐标为（1，3），DP=BC=2 ，可知点P的横坐标为1+2 ，

当x=1+2 时，y=x2﹣2x+1﹣m=x2﹣2x﹣2= ﹣2（1+2 ）﹣2=11≠3，

故不存在这样的点P．

综上可得，存在使四边形CBDP为菱形的点P，坐标为（1，﹣3）．

【解析】（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．