Question

已知△ABC外角∠ACF的平分线CP，与内角∠ABC的平分线交于点P，求证：∠BPC+∠PAC=90°．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC，再根据角平分线的定义可得∠PCD=

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∠ACD，∠PBC=

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∠ABC，然后整理求出∠BAC=2∠BPC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点P在∠BAC的外角平分线上，然后求解即可．

解答：证明：由三角形的外角性质得，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠PCF=∠BPC+∠PBC，
∵CP是∠ACF的平分线，BP是∠ABC的平分线，
∴∠PCF=

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∠ACF，∠PBC=

1

2

∠ABC，
∴∠BPC+∠PBC=

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2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠BAC=2∠BPC，
设∠BPC=α，则∠BAC=2α，
∵点P是BP、CP的交点，
∴点P在∠BAC的外角平分线上，
∴∠PAC=

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2

（180°-2α）=90°-α，即：∠BPC+∠PAC=90°．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解答此题的关键．