Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．
（1）当t为何值时，四边形PCDQ的面积为36？
（2）0＜t＜5时，若DP≠DQ，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

考点：梯形,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）用t表示出QD、CP，然后利用梯形的面积公式列式进行计算即可得解；
（2）分①PQ=PD时，过P作PE⊥AD于E，根据等腰三角形三线合一的性质用t表示出QE，然后表示出AE，再根据AE=AP列出方程求解；
②QD=QP，过Q作QF⊥BC于F，用t表示出FP，在Rt△QPF中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵AD=8cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，
∴QD=AD-AQ=8-t（cm），
当从B到C是，CP=BC-BP=10-2t（cm），当从C返回B时，CP=2t-10（cm），
∴当点P未到达点C时，四边形PCDQ的面积为：

1

2

（8-t+10-2t）×6=36，
解得：t=2；
当点P到达点C返回时，四边形PCDQ的面积：

1

2

（8-t+2t-10）×6=36，
解得t=14秒（不符合题意，舍去）；
∴t=2s时，四边形PCDQ的面积为36cm²；

（2）①如图，若PQ=PD，过P作PE⊥AD于E，
则QD=8-t，QE=

1

2

QD=

1

2

（8-t），
AE=AQ+QE=t+

1

2

（8-t）=

1

2

（8+t），
∵AE=BP，
∴

1

2

（8+t）=2t，
解得t=

8

3

；
②如图，若QD=QP，过Q作QF⊥BC于F，
则QF=6，FP=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

，
综上所述，当t=

8

3

或

7

4

时，△DPQ是等腰三角形．

点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用．属于综合题，但难度适中，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．