Question

下表给出了代数式x²+bx+c与x的一些对应值：

x	…	0	1	2	3	4	…
x2+bx+c	…	3		-1		3	…

（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y=x²+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y=x²+bx+c的图象得到函数y=x²的图象？

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：（1）先根据两组值（0，3）、（2，-1）得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，确定代数式，然后计算x=1和3时的代数式的值即可；
（2）根据抛物线的性质得抛物线开口向上，然后找出x轴下方的抛物线所对应的自变量的范围即可；
（3）根据表中数据得到抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为（2，-1），然后利用点的平移规律确定抛物线的平移．

解答：解：（1）根据题意得

c=3 4+2b+c=-1

，
解得

b=-4 c=3

，
当x=1时，x²+bx+c=x²-4x+3=1-4+3=0；
当x=3时，x²+bx+c=x²-4x+3=9-12+3=0，
故答案为0，0；
（2）因为抛物线y=x²-4x+3的开口向上，当1＜x＜3时，y＜0；
（3）抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为（2，-1），把点（2，-1）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为（0，0），
所以函数y=x²+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数y=x²的图象．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．