Question

如图，反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与一次函数y=ax+b在第三象限时交点为A（-1，2-k²），且一次函数与x轴交于B（1，0）．
（1）求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P在y=

k

x

的图象上，点Q在y=ax+b的图象上，要使P、Q、O、B为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）把点A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，求出点A坐标，把点A与点B坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）如图所示，四边形OPQB与四边形OBQ′P′为平行四边形，利用平行四边形的性质得到PQ=P′Q′=OB=1，设点P坐标为（a，

2

a

），表示出点Q坐标，将点Q坐标代入一次函数解析式求出a的值，即可确定出满足题意点P的坐标．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与一次函数y=ax+b在第三象限时交点为A（-1，2-k²），
∴把点A坐标代入反比例解析式得：-2+k²=k，
解得：k=2或k=-1（不合题意舍去），
∴反比例解析式为y=

2

x

，A（-1，-2），
把点A与点B坐标代入一次函数解析式得：

-a+b=-2 a+b=0

，
解得：a=1，b=-1，
则一次函数解析式为y=x-1；
（2）如图所示，四边形OPQB与四边形OBQ′P′为平行四边形，可得PQ=P′Q′=OB=1，
设P坐标为（a，

2

a

），则有Q（a+1，

2

a

），
把Q坐标代入一次函数y=x-1中得：

2

a

=a+1-1，即a²=2，
解得：a=

2

或a=-

2

，
则满足题意的坐标为P（

2

，

2

），P′（-

2

，-

2

）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．