Question

【题目】如图，在正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在对角线 BD 上,DE=，连接 CE，过点 E作 EF⊥CE，交线段 AB 于点 F

（1）求证：CE=EF；

（2）求 FB 的长；

（3）连接 FC 交 BD 于点 G．求 BG 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）4（3）

【解析】

（1）过E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，根据正方形的性质得到∠EBM＝∠HBE＝45，求得EM＝EH，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到BD＝6，得到AM＝CH＝1，根据全等三角形的性质得到FM＝CH＝1，于是得到结论；

（3）过G作GN⊥BC于N，设GN＝BN＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）过E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EBM＝∠HBE＝45，

∴EM＝EH，

∵∠EMB＝∠MBH＝∠BHE＝90，

∴∠MEH＝90，

∵EF⊥CE，

∴∠CEF＝90，

∴∠MEF＝∠CEH，

∴△EMF≌△EHC（ASA），

∴CE＝EF；

（2）∵AB＝6，

∴BD＝6，

∵DE＝，

∴BE＝BDDE＝5，

∵BM2+EM2=BE2,BM=EM

∴BM＝BH＝5，

∴AM＝CH＝1，

∵△EMF≌△EHC，

∴FM＝CH＝1，

∴BF＝ABAMMF＝611＝4；

（3）过G作GN⊥BC于N，

∴GN＝BN，

设GN＝BN＝x，

∴CN＝6x，

∵GN⊥BC，AB⊥BC，

∴GN∥BF，

∴△CGN∽△CFB，

∴，

∴，

∴x＝，

∴BN＝GN＝，

∴BG＝．