Question

如图，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求△APC的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先令y=0求出x的值即可得出A、B两点的坐标；再令x=0，求出y的值即可得出C点坐标；
（2）根据B、C两点的坐标用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据AP∥CB，A（-1，0）可得出直线AP的解析式，故可得出点P的坐标，由勾股定理可求出AP，AC的长，进而得出结论．

解答：解：（1）当y=0，则0=x²-1，
解得：x₁=-1，x₂=1，
故A（-1，0），B（1，0），
当x=0，则y=-1，
故C（0，-1）；

（2）（2）设过B、C两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（1，0），C（0，-1），
∴

k+b=0 b=-1

，
解得：

k=1 b=-1

，
∴直线BC的解析式为y=x-1，
∵AP∥CB，A（-1，0），
∴直线AP的解析式为：y=x+1，
∴

y=x+1 y=x2-1

，
解得

x=-1 y=0

或

x=2 y=3

，
∴P（2，3），
∴AP=

(2+1)2+32

=3

2

，AC=

2

，
∵OB=OC=OA，∠BOC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AC⊥BC，AC⊥AP，
∴S_△ACP=

1

2

AP×AC=

1

2

×3

2

×

2

=3．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数的解析式等相关知识，难度适中．