Question

如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在圆O上，C为弧BM的中点．
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC=4，AB=6，求BN的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据垂径定理，由CD⊥AB得到弧BC=弧BD，加上BC弧=CM弧，则BD弧=CM弧，于是根据圆周角定理可得到∠1=∠M，然后根据平行线的判定即可得到CB∥DM；
（2）连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明Rt△BCN∽Rt△BAC，然后利用相似比可计算出BN的长．

解答：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∵C为弧BM的中点，
即BC弧=CM弧，
∴BD弧=CM弧，
∴∠1=∠M，
∴CB∥DM；
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BNC=90°，BD弧=BC弧，
∴∠BCD=∠BAC，
∴Rt△BCN∽Rt△BAC，
∴

BN

BC

=

BC

AB

，即

BN

4

=

4

6

，
∴BN=

8

3

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．