Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．
（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；
（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据相似三角形的判定及已知可得到题中存在的相似三角形；
（2）根据相似三角形的对应边成比例及已知，即可求得DB、BC、CE之间的关系，进而求出BC的长．

解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．  
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠EAC=60°．
∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．
∵∠D=∠D，∠E=∠E，
∴△DAE∽△DBA∽△ACE．
（2）∵△DBA∽△ACE，
∴DB：AC=AB：CE．
∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6
∴BC²=DB•CE=12，
∵BC＞0，
∴BC=2

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．