Question

抛物线y=ax²+bx+

3

2

交x轴正半轴于点B及点A（-1，0），交y轴于点C，AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线y=ax²+bx+

3

2

在第一象限的部分上（CD与x轴不平行），△BCD的面积为

3

2

，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在抛物线y=ax²+bx+

3

2

上，过点P作x轴的垂线，点E为垂足，直线PD交x轴于点F，连接DE，当DE=2DF时，求直线PA与x轴所夹锐角的正切值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）求出A、B坐标，代入函数解析式，列出方程组，求出系数即可；
（2）过点D作y轴的平行线交BC于点G，交x轴于点M，过点C作CH⊥DG，点H为垂足，根据S_△BCD=S_△CDG+S_△DGB求出DG=1，
（3）过点D作PE的垂线，点N为垂足，设点P横坐标t，则P（t，-12t²+t+32），根据当点P位于对称轴右侧时和点P位于对称轴右侧时解答．

解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，
∵AB=4，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴

a-b+ 3 2 =0 9a+3b+ 3 2 =0

，
解得：

a=- 1 2 b=1

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）如图（1），过点C作CH⊥DG，点H为垂足，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∵B（3，0），C（0，

3

2

），
∴

n= 3 2 3m+n=0

，解得

m=- 1 2 n= 3 2

，
∴直线BC的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

．
S_△BCD=S_△CDG+S_△DGB
=

1

2

DG•CH+

1

2

DG•BM
=

1

2

（OM+BM）
=

1

2

DG•OB
∵S_△BCD=

3

2

，OB=3，
∴DG=1，
设点D的横坐标为k，则D（k，-

1

2

k²+k+

3

2

），G（k，-

1

2

k+

3

2

），
∴DG=-

1

2

k²+k+

3

2

-（-

1

2

k+

3

2

）=1，
∴-

1

2

k²+

3

2

k=1，
解得k=1或k=2．
当k=1时，D（1，2），当k=2时，D（2，

3

2

），则CD∥x轴，舍去；
∴D（1，2）．


（3）如图（2）、图（3）过点D作y轴的平行线交BC于点G，交x轴于点M，
过点D作PE的垂线，点N为垂足，设点P横坐标t，则P（t，-

1

2

t²+t+

3

2

），
当点P位于对称轴右侧时，tan∠DPN=

DN

PN

=

t-1

2-(- 1 2 t2+t+ 3 2 )

=

t-1

1 2 (t-1)2

=

2

t-1

，
tan∠DEM=

2

t-1

，
∴∠DPN=∠DEM，
∴∠MDF=∠DPN=∠DEM，
∵∠DMF=∠EMD，
∴△DMF∽△EMD，
∴

DM

EM

=

DF

ED

，
∵DE=2DF，
∴EM=2DM=4，
∴OE=5，
∴t=5，P（5，-6），
∴tan∠PAE=

PE

EA

=

6

6

=1，
当点P位于对称轴左侧时，同理可得：EM=4，OE=3，t=-3，此时P（-3，-6），AE=2，
∴tan∠PAE=

PE

AE

=

6

2

=3．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、锐角三角函数的定义等知识，难度较大．