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    如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．

    （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

    （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；

    （3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

    （4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

     解：（1）设抛物线解析式为，

    把代入得．

    ，顶点

    (2)G(4,8),  G(8,8),  G(4,4)

    （3）假设满足条件的点存在，依题意设，

    由求得直线的解析式为

    它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．

    则，点到的距离为．

    又．．

    平方并整理得：，．

     存在满足条件的点，的坐标为．

    （4）由上求得．

    抛物线向上平移，可设解析式为．

    当时，．

    当时，．或．

    ．

    ∴向上最多可平移72个单位长。

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
    （2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
    （3）点M是直线CD上的一动点，BM交抛物线于N，是否存在点N是线段BM的中点，如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    精英家教网如图，已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C（0，3），且对称轴方程为x=1
    （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
    （2）求抛物线的解析式；
    （3）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （4）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），E（3，0），与y轴交于点B，且该精英家教网函数的最大值是4．
    （1）抛物线的顶点坐标是（
     
    ，
     
    ）；
    （2）求该抛物线的解析式和B点的坐标；
    （3）设抛物线顶点是D，求四边形AEDB的面积；
    （4）若抛物线y=mx2+nx+p与上图中的抛物线关于x轴对称，请直接写出m的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
    （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
    （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；
    （3）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

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