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【题目】如图,等边△ABC 中,高线 AD=6,点P从点 A出发,沿着AD运动到点 D停止,以CP为边向左下方作等边△CPQ,连接BQ,DQ.

(1)请说明:△ACP ≌△BCQ;

(2)在点P的运动过程中,当△BDQ是等腰三角形时,求∠BDQ的度数;

【答案】(1)证明见解析;(2)∠BDQ=30°或75°或120°.

【解析】试题分析:(1)由等边三角形的性质得AC=BCPC=QCACB=PCQ=60°,由边角边证得ACPBCQ;(2)由全等三角形的性质以及等边三角形的性质可得∠QBD=30°,由等腰三角形的性质,分情况求出∠BDQ.

试题解析:1∵△ABCPQC是等边三角形,

AC=BCPC=QCACB=PCQ=60°

又∵∠ACP=60°-BCPBCQ=60°-BCP

∴∠ACP=BCP

ACPBCQ中,

ACPBCQSAS.

2)由(1)知,ACP BCQ

∴∠QBD=PAC=30°

BDQ 是等腰三角形时,

①若BQ=QD,如图1,则∠BDQ=30°

②若BQ=BD,如图2,则∠BDQ=75°

③若BD=DQ,如图3,则∠BDQ=120°.

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