Question

（2011•青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点M、N分别是AD、BC的中点，已知

BC

=

a

，

BA

=

b

，试用

a

、

b

分别表示

DM

、

CD

、

MN

．

Answer 1

分析：①根据平面向量的几何意义计算；
②连接AC，构建△ABC和△ADC，然后利用向量的三角形法则计算用

a

、

b

表示的

CD

；
③连接ND构建平行四边形ABND；然后利用平行四边形的性质、平面向量的几何意义以及向量的三角形法则计算用

a

、

b

分别表示

MN

．

解答：解：①∵AD∥BC，BC=2AD，

BC

=

a

，
∴

AD

=

1

2

a

；
又∵点M是AD的中点，
∴

MD

=

1

4

a

，
∴

DM

=-

1

4

a

；
②连接AC．
∵

AC

=

BC

-

BA

，
∴

AC

=

a

-

b

；
而

CD

=

AD

-

AC

，
∴

CD

=

1

2

a

-（

a

-

b

）=

b

-

1

2

a

；
③连接ND．
∵BC=2AD，点N是BC的中点，
∴AD=BN；
∵AD∥BC，
∴四边形ABND是平行四边形，
∴

ND

=

BA

=

b

；
∵

NM

=

ND

-

DM

，
∴

MN

=

b

-

1

4

a

，
∴

MN

=

1

4

a

-

b

．

点评：本题考查了平面向量．解答该题时，需熟记向量的三角形法则和向量的平行四边形法则．