Question

18．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB=2∠ADB； 
③∠ADC=90°-∠ABD；
④∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
其中正确的结论有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 1 个

Answer 1

分析 ①由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．
②由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；④由∠BAC+∠ABC=∠ACF，得出$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACF，再与∠BDC+∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ACF相结合，得出$\frac{1}{2}$∠BAC=∠BDC，即∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

解答 解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确．
②由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正确．
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故③正确；
④∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ACF，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC=∠BDC，即∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
故④正确．
故选C．

点评 本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确找各角的关系．