【题目】如图,对称轴为直线x=1的抛物线与x轴交于B、C两点,与y轴交于点A(0,3),且OA=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一点,过点P作PD⊥x轴于点D.若△PDC与△AOB相似,求点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P(2,3).
【解析】
(1)先得出点C和点B的坐标,再利用待定系数法求解可得;
(2)设点P的坐标为(m,﹣m2+2m+3)且0<m<3,得出DC=3﹣m,PD=﹣m2+2m+3,再分△PDC∽△AOB和△PDC∽△BOA两种情况分别求解可得.
(1)∵抛物线的图象经过点A(0,3),
∴OA=OC=3,
∴C(3,0).
∵抛物线的对称轴为直线x=1,且与x轴交于B、C两点,
∴点B(﹣1,0),
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
把A(0,3)代入y=a(x+1)(x﹣3),得:a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图,
∵点P为直线AC上方的抛物线上一点,
∴设点P的坐标为(m,﹣m2+2m+3),且0<m<3.
∵PD⊥x轴于点D,
∴D(m,0),
由(1)知A(0,3),B(﹣1,0),C(3,0),
∴OB=1,OA=3,OC=3,
∴DC=3﹣m,PD=﹣m2+2m+3,
①若△PDC∽△AOB,则,即,
解得:m1=2,m2=3(舍去),
当m=2时,﹣m2+2m+3=3,
∴P(2,3);
②若△PDC∽△BOA,则,即,
解得:m3=3(舍),m4(舍);
综上可知:P(2,3).
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【题目】数学课堂上,为了学习构成任意三角形三边需要满足的条件.甲组准备3根本条,长度分别是3cm、8cm、13cm;乙组准备3根本条,长度分别是4cm、6cm、12cm.老师先从甲组再从乙组分别随机抽出一根本条,放在一起组成一组.
(1)用画树状图法(或列表法)分析,并列出各组可能.(画树状图或列表及列出可能时不用写单位)
(2)现在老师也有一根本条,长度为5cm,与(1)中各组本条组成三角形的概率是多少?
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【题目】某市精准扶贫工作已经进入攻坚阶段,贫困的张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了大樱桃.今年正式上市销售,在销售30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,在一段时间内采取降价措施,每天比前一天多卖出4千克.当售价不变时,销售量也不发生变化.已知种植销售大樱桃的成本为18元/千克,设第天的销售价元/千克,与函数关系如下表:
表一
天数 | 1 | 2 | 3 | …… | …… | 20 |
售价(元/千克) | 37.5 | 37 | 36.5 | …… | …… | 28 |
表二
天数 | 21 | 22 | …… | …… | 30 |
售价(元/千克) | 28 | 28 | …… | …… | 28 |
(1)求与函数解析式;
(2)求销售大樱桃第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
(3)销售大樱桃的30天中,当天利润不低于
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【题目】如图,在⊙O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点,连接AD,BC,BD.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)若∠DBE=37°,求∠ADC的度数.
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【题目】已知菱形ABCD中,AB=5,∠B=60°,⊙A的半径为2,⊙B的半径为3,点E、F分别为⊙A、⊙B上的动点,点P为DC边上的动点,则PE+PF的最小值为_____.
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【题目】如图,已知点D,E是半圆O上的三等分点,C是弧DE上的一个动点,连结AC和BC,点I是△ABC的内心,若⊙O的半径为3,当点C从点D运动到点E时,点I随之运动形成的路径长是_____.
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【题目】如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2,为什么?
(3)怎样围才能使围出的矩形场地面积最大?最大面积为多少?请通过计算说明.
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