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【题目】如图,在直角坐标系中,A(-a,0),B(b,0),C(0,c),且满足.

(1)如图1,过BBDAC,y轴于M,垂足为D,求M点的坐标.

(2)如图2,若a=3AC=6,点P为线段AC上一点,Dx轴负半轴上一点,且PD=PO,∠DPO=45°,求点D的坐标.

(3)如图3MOC上,EAC上,满足∠CME=OMA,EFAMAOG,垂足为F,试猜想线段OG,OM,CM三者之间的数量关系,并给出证明.

【答案】1M0,2);(2D0);(3OG+OM=CM,证明见解析.

【解析】

1)由被开方数大于等于0,可得a=cb=2,则B点坐标为(2,0),易得△OAC和△OBM为等腰直角三角形,所以OM=OB=2,从而得到M点坐标;

2)由“一线三等角”模型,易证△PAD≌△OCP,从而得到AP=OCAD=PC,即可求出OD的长度,进而得到D点坐标;

3)设OM=m,则M点坐标为(0m),分别求出ACAMEM的解析式,将EMAC联立求得E点坐标,再根据EFAM,可得EF的斜率,进而求出EF的解析式,然后求出G点坐标即可得出关系.

解:(1)由题意得

OA=OCB点坐标(2,0

∴∠OAC=OCA=45°,

又∵BDAC

∴∠OBM=45°,

∴∠OMB=OBM=45°,

OM=OB=2

M点的坐标为(0,2

2)∵∠APO=APD+DPO=PCO+POC,且∠DPO=PCO=45°

∴∠APD=POC

在△PAD和△OCP中,

∴△PAD≌△OCPAAS

AP=OC=AD=PC

PC=AC-AP==AD

OD=OA-AD=

D点在x轴负半轴,

D点坐标为(0

3OG+OM=CM,证明如下:

OM=m,则M点坐标为(0m

由(1)可知OA=OC=aA点坐标为(-a0),C点坐标为(0a

AC直线解析式为:

AM直线解析式为:

如图,延长EMAO交于点H

∵∠CME=OMA,∠CME=OMH

∴∠OMA=OMH

又∵MOAH

OA=OH=a

∴直线EH解析式为:

将直线AC与直线EH联立得

解得

E点坐标为(

EFAM

kEF·kAM=-1

kEF=

EF解析式为:

E点坐标()代入得

=,解得

EF解析式为:

y=0时,

解得

G点坐标为(0

Gx轴的负半轴

OG=

OG+OM=

又∵CM=OC-OM=

OG+OM=CM

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