【题目】如图,在直角坐标系中,A(-a,0),B(b,0),C(0,c),且满足.
(1)如图1,过B作BD⊥AC,交y轴于M,垂足为D,求M点的坐标.
(2)如图2,若a=3,AC=6,点P为线段AC上一点,D为x轴负半轴上一点,且PD=PO,∠DPO=45°,求点D的坐标.
(3)如图3,M在OC上,E在AC上,满足∠CME=∠OMA,EF⊥AM交AO于G,垂足为F,试猜想线段OG,OM,CM三者之间的数量关系,并给出证明.
【答案】(1)M(0,2);(2)D(,0);(3)OG+OM=CM,证明见解析.
【解析】
(1)由被开方数大于等于0,可得a=c,b=2,则B点坐标为(2,0),易得△OAC和△OBM为等腰直角三角形,所以OM=OB=2,从而得到M点坐标;
(2)由“一线三等角”模型,易证△PAD≌△OCP,从而得到AP=OC,AD=PC,即可求出OD的长度,进而得到D点坐标;
(3)设OM=m,则M点坐标为(0,m),分别求出AC、AM、EM的解析式,将EM与AC联立求得E点坐标,再根据EF⊥AM,可得EF的斜率,进而求出EF的解析式,然后求出G点坐标即可得出关系.
解:(1)由题意得,
∴,
∴OA=OC,B点坐标(2,0)
∴∠OAC=∠OCA=45°,
又∵BD⊥AC
∴∠OBM=45°,
∴∠OMB=∠OBM=45°,
∴OM=OB=2
∴M点的坐标为(0,2)
(2)∵∠APO=∠APD+∠DPO=∠PCO+∠POC,且∠DPO=∠PCO=45°
∴∠APD=∠POC
在△PAD和△OCP中,
∴△PAD≌△OCP(AAS)
∴AP=OC=,AD=PC
∴PC=AC-AP==AD
∴OD=OA-AD=
∵D点在x轴负半轴,
∴D点坐标为(,0)
(3)OG+OM=CM,证明如下:
设OM=m,则M点坐标为(0,m)
由(1)可知OA=OC=a,A点坐标为(-a,0),C点坐标为(0,a)
∴AC直线解析式为:
AM直线解析式为:
如图,延长EM,AO交于点H,
∵∠CME=∠OMA,∠CME=∠OMH
∴∠OMA=∠OMH
又∵MO⊥AH
∴OA=OH=a
∴直线EH解析式为:
将直线AC与直线EH联立得
解得
∴E点坐标为(,)
∵EF⊥AM
∴kEF·kAM=-1
∴kEF=
设EF解析式为:
将E点坐标(,)代入得
=,解得
设EF解析式为:
当y=0时,
解得
∴G点坐标为(,0)
∵G在x轴的负半轴
∴OG=
∴OG+OM=
又∵CM=OC-OM=
∴OG+OM=CM
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【题目】如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点、,点坐标为.
求该抛物线的解析式;
抛物线的顶点为,在轴上找一点,使最小,并求出点的坐标;
点是线段上的动点,过点作,交于点,连接.当的面积最大时,求点的坐标;
若平行于轴的动直线与该抛物线交于点,与直线交于点,点的坐标为.问:是否存在这样的直线,使得是等腰三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】完成下列问题:
(1)若 n(n≠0)是关于 的方程 x+mx-2n=0的根,求 m+n的值;
(2)已知 , 为实数,且 y=2,求 2x-3y的值.
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【题目】某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现,每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定:纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
(1)当每个纪念品定价为3.5元时,商店每天能卖出________件;
(2)如果商店要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?
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【题目】如图,正方形ABCD的顶点B,C在x轴的正半轴上,反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m,2)和CD边上的点E(n,),过点E的直线l交x轴于点F,交y轴于点G(0,-2),则点F的坐标是( )
A. (,0)B. (,0)C. (,0)D. (,0)
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【题目】如图,两个边长分别为a,b(a>b)的正方形连在一起,三点C,B,F在同一直线上,反比例函数y=在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E.若OB2﹣BE2=8,则k的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 4
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【题目】已知关于x的一元二次方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使=1成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
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