Question

5．如图，正方形ABCD中，E是AB的中点，DP⊥CE于点P．连接AP并延长交BC于点G，求AP：PG的值．

Answer 1

分析 作PH⊥AB于H，由正方形的性质和已知条件得出CD=2AE=2BE，证明Rt△PCD∽Rt△BEC，利用相似比得到CD：CE=CP：BE，然后利用等线段代换和比例的性质易得CP•CE=2AE²；设AE=BE=a，则BC=2a，根据勾股定理计算出CE=$\sqrt{5}$a，利用CP•CE=2AE²可计算出CP，求出EP，然后证明△EPH∽△ECB，利用相似比可计算出EH，得出AH，BH，由PH∥BG根据平行线分线段成比例定理即可得出结果．

解答 解：作PH⊥AB于H，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵E是AB的中点，∴AE=BE，CD=2AE=2BE，
∵DP⊥CE于点P，
∴∠DPC=90°，
∴∠CDP+∠PCD=90°，
而∠ECB+∠PCD=90°，
∴∠ECB=∠CDP，
∴Rt△PCD∽Rt△BEC，
∴CD：CE=CP：BE，
∴2AE：CE=CP：AE
∴CP•CE=2AE²；
设AE=BE=a，则BC=2a，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵CP•CE=2AE²
∴CP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴EP=EC-CP=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
∵PH∥BC，
∴△EPH∽△ECB，
∴EH：EB=EP：EC，
即EH：a=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a：$\sqrt{5}$a，
∴EH=$\frac{3}{5}$a，
∴AH=AE+EH=$\frac{8}{5}$a，BH=BE-EH=$\frac{2}{5}$a，
∵PH∥BG，
∴$\frac{AP}{PG}$=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{\frac{8}{5}a}{\frac{2}{5}a}$=4；

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．