Question

6．如图，将一块三角板放在平面直角坐标系中，已知∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx的图象经过A，B，O三点，试确定此二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O，B）上，是否存在一点C，使得△OBC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=$\sqrt{3}$，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，利用已知条件可以求出OD、BD，也就求出B的坐标；
（2）根据待定系数法把A，B，O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式；
（3）设存在点C（x，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x），过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF，而|CF|=y_C-y_F=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x，这样可以得到S_△OBC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x，利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值，也可以求出C的坐标．

解答 解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$，
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，
则OD=$\sqrt{3}$cos30°=$\frac{3}{2}$，BD=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点B的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（2）将A（2，0）、B（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$．
故所求二次函数解析式是y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；

（3）设存在点C（x，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）（其中0＜x＜$\frac{3}{2}$），
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=$\frac{1}{2}$|CF|•|OE|+$\frac{1}{2}$|CF|•|ED|=$\frac{1}{2}$|CF|•|OD|=$\frac{3}{4}$|CF|，
而|CF|=y_C-y_F=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x，
∴S_△OBC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，
∴当x=$\frac{3}{4}$时，△OBC面积最大，最大面积为$\frac{9\sqrt{3}}{32}$．
此时C点坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及到利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解函数的最大值等知识，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．