Question

3．如图，已知抛物线的顶点在第四象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若线段OA绕点O顺时针旋转45°到OA′，试判断点A′是否在该抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+3，由于抛物线经过原点，进而求出a的值即可；
（2）设点A′坐标为（x，y），先求出直线OA′的解析式，根据OA′=OA=4，求出点A′的坐标，进而判断点A′是否在该抛物线上．

解答 解：（1）根据题意可知：抛物线的顶点坐标为（2，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-3，
由于抛物线经过原点，
即4a-3=0，
解得a=$\frac{3}{4}$．
故抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-3；
（2）设点A′坐标为（x，y），
则直线OA′的解析式为y=-x①，
根据旋转的性质可知：OA′=OA=4，
即x²+y²=16②，
由①②可得x=2$\sqrt{2}$，y=-2$\sqrt{2}$，
即点A′坐标为（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），
把点A′坐标为（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$）代入解析式y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-3；
-2$\sqrt{2}$≠$\frac{3}{4}$（2$\sqrt{2}$-2）²-3，
即点A′不在该抛物线上．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到求二次函数的解析式、二次函数的性质、旋转的性质等知识，解答（2）的关键是求出点A′坐标，此题难度一般．