Question

14．若三个边长为a的正方形按如图方式刚好能放在Rt△ABC内，则AB边的长为（2+2$\sqrt{3}$）a．

Answer 1

分析 连接AD，根据题意得∠DGH=90°，DG=a，DH=2a，根据直角三角形的性质得到∠DHG=30°，由于DH∥AB，得到∠B=30°，∠CAB=60°，通过R_t△ADE≌R_t△ADF，得到∠DAF=∠DAE=30°，于是求得AF=$\sqrt{3}$a，PF=2a，PB=$\sqrt{3}$a，则结论可得．

解答 解：如图，连接AD，根据题意得：∠DGH=90°，DG=a，DH=2a，
∴∠DHG=30°，
∵DH∥AB，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠CAB=60°，
在R_t△ADE与R_t△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴R_t△ADE≌R_t△ADF，
∴∠DAF=∠DAE=30°，
∴AF=$\sqrt{3}$a，PF=2a，PB=$\sqrt{3}$a，
∴AB=（2+2$\sqrt{3}$）a．
故答案为：（2+2$\sqrt{3}$）a．

点评 本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．