Question

19．如图，正方形ABCD的边长为4厘米，（对角线BD平分∠ABC）动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC-CD以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．联结AQ，交BD于点E．设点P运动时间为t秒．
（1）用t表示线段PB的长；
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BEP和∠BEQ相等；
（3）当t为何值时，P、Q之间的距离为2$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和已知条件即可得出结果；
（2）由正方形的性质得出∠PBE=∠QBE，由AAS证明△BEP≌△BEQ，得出对应边相等BP=BQ，得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤2时；②当2＜t＜4时；由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）PB=AB-AP，
∵AB=4，AP=1×t=t，
∴PB=4-t；
（2）t=$\frac{4}{3}$时，∠BEP和∠BEQ相等；理由如下：
∵四边形ABCD正方形，
∴对角线BD平分∠ABC，
∴∠PBE=∠QBE，
当∠BEP=∠BEQ时，
在△BEP与△BEQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBE=∠QBE}\\{∠BEP=∠BEQ}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△BEQ（AAS），
∴BP=BQ，
即：4-t=2t，
解得：t=$\frac{4}{3}$；
（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤2时；（即当P点在AB上，Q点在BC上运动时），
连接PQ，如图1所示：
根据勾股定理得：$B{P^2}+B{Q^2}={（2\sqrt{5}）^2}$，
即（4-t）²+（2t）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得：t=2或t=-$\frac{2}{5}$（负值舍去）；
②当2＜t＜4时，（即当P点在AB上，Q点在CD上运动时），
作PM⊥CD于M，
如图2所示：
则PM=BC=4，CM=BP=4-t，
∴MQ=2t-4-（4-t）=3t-8，
根据勾股定理得：MQ²+PM²=PQ²，
即${（3t-8）^2}+{4^2}={（2\sqrt{5}）^2}$，
解得t=$\frac{10}{3}$或t=2（舍去）；
综上述：当t=2或$\frac{10}{3}$时；PQ之间的距离为2$\sqrt{5}$cm．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据勾股定理得出方程，解方程才能得出结果．