Question

11．如图，⊙O的弦AB=4cm，点C为优弧$\widehat{AB}$上的动点，且∠ACB=30°．若弦DE经过弦AC、BC的中点M、N，则DM+EN的最大值是6cm．

Answer 1

分析 由点M、N分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出MN=$\frac{1}{2}$AB为定值，则NE+DM=DE-MN，所以当MN取最大值时，DM+EN有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当DE为⊙O的直径时，可求得DM+EN的最大值．

解答 解：当DE为⊙O的直径时，DM+EN有最大值．
当DE为直径时，M点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=8cm．
∵∠ABC是直径所对的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，AB=4cm，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=8．
∵点M、N分别为AC、BC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴DM+EN=DE-MN=8-2=6，
故答案为：6．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质和圆周角定理，综合运用以上定理是解题的关键，解答时，注意直径是圆中最长的弦．