Question

16．如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
②随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．

Answer 1

分析 ①先根据△AOB与△CBD均是等边三角形得出OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，再由SAS定理即可得出结论；
②根据①容易得到∠OAE=60°，然后根据在Rt△OAE中30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，从而得到E的坐标是固定的．

解答 解：①全等．
理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OB=AB\\∠OBC=∠ABD\\ BC=BD\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．           

②不变．
理由：∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．