Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

Answer 1

分析 （1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．

解答 解；（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DE=BF，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=CE，
设DE=x，
则AE=$\sqrt{{6}^{2}+{x}^{2}}$，CE=8-x，
则$\sqrt{{6}^{2}+{x}^{2}}$=8-x，
化简有16x-28=0，
解得：x=$\frac{7}{4}$，
将x=$\frac{7}{4}$代入原方程检验可得等式两边相等，
即x=$\frac{7}{4}$为方程的解．
则菱形的边长为：8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$，
周长为：4×$\frac{25}{4}$=25，
故菱形AFCE的周长为25．

点评 本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．