Question

1．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点F，且∠ACD=60°，在AB的延长线上取一点E，使得∠AED=30°．
（1）求证：直线DE与⊙O相切于点D；
（2）若图中DE=$\sqrt{3}$，求图中阴影部分图形的面积（结果保留3个有效数字）（备用数据：$\sqrt{3}$≈1.732，π≈3.142）

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据圆周角定理求得∠AOD=120°，从而求得∠EOD=60°，根据三角形内角和定理求得∠ODE=90°，即可证得结论；
（2）解直角三角形求得半径OD，然后根据S_阴影=S_△ODE-S_扇形求得即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴∠EOD=60°，
∵∠AED=30°，
∴∠ODE=90°，
∴直线DE与⊙O相切于点D；
（2）解：在RT△ODE中，∠AED=30°，DE=$\sqrt{3}$，
∴OD=tag30°•ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$ED•OD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠BOD=60°，OD=1，
∴S_扇形=$\frac{60×π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，
∴S_阴影=S_△ODE-S_扇形=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$≈0.342．

点评 本题考查了切线的判定，解正切函数，扇形的面积等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．