Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点M为斜边BC的中点，AM=5厘米，∠AMC=45°，将△AMC沿AM翻折，点C落在△ABC所在平面内的C′处，那么四边形BC′AC的面积为$\frac{25\sqrt{2}+25}{2}$平方厘米．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥BC，垂足为D，首先根据直角三角形斜边上中线的性质可知：AM=CM=BM=5，由翻折的性质可得：△CAM的面积=△C′AM的面积，∠C′MB=90°，在Rt△ADM中，可求得AD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，然后可求得：△CAM、△C′AM、△MBC′的面积，从而求得四边形的面积．

解答 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．

∵在Rt△ABC中，M是BC的中点，
∴AM=CM=BM=5．
由翻折的性质可知：△CAM的面积=△C′AM的面积，∠AMC′=∠AMC=45°，
∴∠C′MB=90°．
在Rt△ADM中，∠DMA=45°，
∴$\frac{AD}{AM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AD}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴△C′AM的面积=△ACM的面积=$\frac{1}{2}CM•AD$=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{2}}{2}×5$=$\frac{25\sqrt{2}}{4}$，
△MBC′的面积=$\frac{1}{2}MB•MC′$=$\frac{1}{2}×5×5$=$\frac{25}{2}$．
∴四边形BC′AC的面积=$2×\frac{25\sqrt{2}}{4}+\frac{25}{2}$=$\frac{25\sqrt{2}+25}{2}$．
故答案为：$\frac{25\sqrt{2}+25}{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及特殊锐角三角函数，求得AD的长是解题的关键．