Question

12．如图，直线l₁⊥l₂，垂足为O，点A、B分别在直线l₁和l₂上，∠OAB=30°，OB=2，以A为圆心，1为半径画圆，点P在圆A的圆周上运动，连接AP，过点P画PA的垂线与线段AB相交于点C，与直线l₂相交于D，当AC=BC时，OD的长是1或4．

Answer 1

分析 根据l₁⊥l₂，∠OAB=30°，得到∠OBA=60°，AC=BC=2，由于AP⊥PD，于是得到∠APC=90°，又因为AP=1，得到∠ACP=∠BCD=30°，再根据直角三角形的性质即可得到果．

解答 解：∵l₁⊥l₂，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵OB=2，
∴AB=4，
∴AC=BC=2，
∵AP⊥PD，
∴∠APC=90°，
∵AP=1，
∴∠ACP=30°，
∴∠BCD=30°，
∴∠CDB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴OD=1，
如图，同理∠ACP′=30°，
∴∠BCD′=30°，∵∠ABO=60°，
∴∠BD′C=30°，
∴∠BCD′=∠BD′C，
∴BD′=BC=2，
∴OD′=4，
故答案为：1或4．

点评 本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，熟记直角三角形的性质是解题的关键．