Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点M是边AB的中点，连结CM，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB运动到点B停止，以PC为边作正方形PCDE，点D落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t=$\frac{24}{7}$时，点E落在△MBC的边上；
（2）以E为圆心，1cm为半径作圆E，则当t=$\frac{19}{7}$；$\frac{29}{7}$；5时，圆E与直线AB或直线CM相切．

Answer 1

分析 （1）根据DP∥AC得到成比例线段，代入计算即可；
（2）分点E在△ABC的内部、点E在△ABC的外部与AB相切和圆与CM相切三种情况进行分析，运用三角形的面积和锐角三角函数的概念进行解答即可．

解答 解：（1）如图1，∵四边形PCDE是正方形，
∴DP∥AC，
∴$\frac{EP}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，
即$\frac{t}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，
解得t=$\frac{24}{7}$；
（2）如图2，当点E在△ABC的内部时，圆E与直线AB相切，EF⊥AB，且EF=1时，
连接AE、BE、CE，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
$\frac{1}{2}$×AB×EF+$\frac{1}{2}×AC×DE$+$\frac{1}{2}$×BC×EP=$\frac{1}{2}$×AC×BC，
$\frac{1}{2}$×10×1+$\frac{1}{2}$×8×t+$\frac{1}{2}$×6×t=$\frac{1}{2}$×8×6，
解得t=$\frac{19}{7}$；
如图3，当点E在△ABC的外部时，圆E与直线AB相切，EG⊥AB，且EG=1时，
∵∠EGH=∠BPH，∠EHG=∠BHP，
∴∠GEH=∠PBH，
∴cos∠GEH=cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，又EG=1，
∴EH=$\frac{5}{3}$，
∵$\frac{HP}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，∴HP=$\frac{24-4t}{3}$，
则$\frac{5}{3}$+$\frac{24-4t}{3}$=t，
解得t=$\frac{29}{7}$；
如图4，当圆E与直线CM相切时，EN=1，
作MR∥BC，则MR=$\frac{1}{2}$BC=3，CR=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵点M是边AB的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB=5，
tan∠ACM=$\frac{MR}{RC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{QD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，CD=t，
则QD=$\frac{3}{4}$t，EQ=$\frac{1}{4}$t，
∵∠NEQ=∠ACM，
∴$\frac{EN}{EQ}$=$\frac{1}{\frac{1}{4}t}$=$\frac{4}{5}$，
解得t=5．

点评 本题考查的是直线与圆相切、锐角三角函数和相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用切线的性质是解题的关键．