Question

11．在梯形ABCD中，CD∥AB，AC、BD交于点O，过点O作AB的平行线交AD于点E，交BC于点F，则图中有5对相似形三角形；若DC=9，AB=15，则OD：OB=$\frac{3}{5}$，EF=$\frac{45}{4}$．

Answer 1

分析 由在梯形ABCD中，AB∥CD，于是得到∠ABO=∠CDO，∠OAB=∠DCO，证得△AOB∽△COD，由于EF∥AB，AB∥CD，推出△AEO∽△ACD，△BOF∽△BDC，△DEO∽△DAB，△CFO∽△CAB，得到比例式即可得到结果．

解答 解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，∠OAB=∠DCO，
∴△AOB∽△COD，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴△AEO∽△ACD，△BOF∽△BDC，△DEO∽△DAB，△CFO∽△CAB
∴共有5对相似三角形，
∵△AOB∽△COD，△DEO∽△DAB，△CFO∽△CAB，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}=\frac{CD}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$，
$\frac{OE}{AB}=\frac{OD}{BD}=\frac{3}{8}$，$\frac{OF}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac{3}{8}$，
∴OE=OF=$\frac{45}{8}$，
∴EF=$\frac{45}{4}$，
故答案为：5，$\frac{3}{5}$，$\frac{45}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．