Question

如图，二次函数y=x²+m的图形与直线y=2x相交于 A、B两点，且C为顶点．若OA：OB=1：2，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图，利用△OAD∽△OBE得到

AD

BE

=

OA

OB

=

1

2

，设A点和B点的横坐标分别为x₁，x₂，则x₂=-2x₁，根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到点A和点B的坐标满足方程组

y=2x y=x2+m

，消去y得到x²-2x+m=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，然后求出x₁与x₂后可计算出m的值．

解答：解：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图，
∵AD∥BE，
∴△OAD∽△OBE，
∴

AD

BE

=

OA

OB

=

1

2

，
设A点和B点的横坐标分别为x₁，x₂，则x₂=-2x₁，
由方程组

y=2x y=x2+m

得x²+m=2x，
∴x²-2x+m=0，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
∴x₁-2x₁=2，解得x₁=-2，
∴x₂=4，
∴m=-2×4=-8．

点评：本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题和根与系数的关系．