【题目】已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+m﹣3=0总有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当m在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
【答案】(1)m≥﹣且m≠﹣1;(3)x=±
【解析】
(1)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m+1≠0且△≥0,即4m2﹣4(m+1)×(m﹣3)≥0,然后解两个不等式即可得到m的取值范围;(2)在(1)中m的取值范围中找到最小整数为0,则方程变形为:x2﹣3=0,解之可得答案.
解:(1)∵关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+m﹣3=0总有实数根,
∴m+1≠0且△≥0,即4m2﹣4(m+1)×(m﹣3)≥0,
解得m≥﹣,
∴m的取值范围为m≥﹣且m≠﹣1;
(2)∵m的取值范围为m≥﹣且m≠﹣1,
∴m的最小整数为0,
∴方程变形为:x2﹣3=0,
∴x=±.
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【题目】如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图.若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方块,以搭成一个长方体,至少还需要________个小立方块.最终搭成的长方体的表面积是________.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF:DC=1:4,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为10,求BG的长.
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【题目】如图,内接于,AB是直径,的切线PC交BA的延长线于点P,交AC于点E,交PC于点F,连接AF;
判断AF与的位置关系并说明理由.
若的半径为8,,求AC的长.
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【题目】如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
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【题目】已知正方形ABCD的边长为2,作正方形AEFG(A,E,F,G四个顶点按逆时针方向排列),连接BE、GD,
(1)如图①,当点E在正方形ABCD外时,线段BE与线段DG有何关系?直接写出结论;
(2)如图②,当点E在线段BD的延长线上,射线BA与线段DG交于点M,且DG=2DM时,求边AG的长;
(3)如图③,当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上,直线AB与直线DG交于点M,且DG=4DM时,直接写出边AG的长.
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