【题目】已知正方形ABCD的边长为2,作正方形AEFG(A,E,F,G四个顶点按逆时针方向排列),连接BE、GD,
(1)如图①,当点E在正方形ABCD外时,线段BE与线段DG有何关系?直接写出结论;
(2)如图②,当点E在线段BD的延长线上,射线BA与线段DG交于点M,且DG=2DM时,求边AG的长;
(3)如图③,当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上,直线AB与直线DG交于点M,且DG=4DM时,直接写出边AG的长.
【答案】(1)结论:BE=DG,BE⊥DG.理由见解析;(2)AG=2;(3)满足条件的AG的长为2或2.
【解析】
(1)结论:BE=DG,BE⊥DG.只要证明△BAE≌△DAG(SAS),即可解决问题;
(2)如图②中,连接EG,作GH⊥AD交DA的延长线于H.由A,D,E,G四点共圆,推出∠ADO=∠AEG=45°,解直角三角形即可解决问题;
(3)分两种情形分别画出图形即可解决问题;
(1)结论:BE=DG,BE⊥DG.
理由:如图①中,设BE交DG于点K,AE交DG于点O.
∵四边形ABCD,四边形AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAE=∠DAG,
∴△BAE≌△DAG(SAS),
∴BE=DG,∴∠AEB=∠AGD,
∵∠AOG=∠EOK,
∴∠OAG=∠OKE=90°,
∴BE⊥DG.
(2)如图②中,连接EG,作GH⊥AD交DA的延长线于H.
∵∠OAG=∠ODE=90°,
∴A,D,E,G四点共圆,
∴∠ADO=∠AEG=45°,
∵∠DAM=90°,
∴∠ADM=∠AMD=45°,
∴
∵DG=2DM,
∴
∵∠H=90°,
∴∠HDG=∠HGD=45°,
∴GH=DH=4,
∴AH=2,
在Rt△AHG中,
(3)①如图③中,当点E在CD的延长线上时.作GH⊥DA交DA的延长线于H.
易证△AHG≌△EDA,可得GH=AB=2,
∵DG=4DM.AM∥GH,
∴
∴DH=8,
∴AH=DH﹣AD=6,
在Rt△AHG中,
②如图3﹣1中,当点E在DC的延长线上时,易证:△AKE≌△GHA,可得AH=EK=BC=2.
∵AD∥GH,
∴
∵AD=2,
∴HG=10,
在Rt△AGH中,
综上所述,满足条件的AG的长为或.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+m﹣3=0总有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当m在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
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【题目】(本题9分)据报道,“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目.某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度,随机抽取部分学生进行了一次问卷调查,并根据收集到的信息进行了统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有___名,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为___;请补全条形统计图;
(2)若该校共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
(3)“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种,规则为:剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀,若双方出现相同手势,则算打平.若小刚和小明两人只比赛一局,请用树状图或列表法求两人打平的概率.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AC是⊙O直径,D是的中点,过点D作CB的垂线,分别交CB、CA延长线于点F、E.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若sinE=,求AB:EF的值.
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上.
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使点A、C的坐标分别为(2,3)、(6,2),并写出点B的坐标;
(2)以原点O为位似中心,在第一象限内将△ABC放大,相似比为2,画出放大后的△A'B'C';
(3)直接写出B′C′与AC的交点坐标.
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【题目】如图,现有一块钢板余料,它是矩形缺了一角, .王师傅准备从这块余料中裁出一个矩形(为线段上一动点).设,矩形的面积为.
(1)求与之间的函数关系式,并注明的取值范围;
(2)为何值时,取最大值?最大值是多少?
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【题目】某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查,从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数(AQI)数据,绘制出三幅不完整的统计图表,请根据图表中提供的信息解答下列问题:
AQI指数 | 质量等级 | 天数(天) |
0-50 | 优 | m |
51-100 | 良 | 44 |
101-150 | 轻度污染 | n |
151-200 | 中度污染 | 4 |
201-300 | 重度污染 | 2 |
300以上 | 严重污染 | 2 |
(1)统计表中m= ,n= ,扇形统计图中,空气质量等级为“良”的天数占 %;
(2)补全条形统计图,并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少?
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【题目】如图,已知∠AOB=60°,点P为射线OA上的一个动点,过点P作PE⊥OB,交OB 于点E,点D在∠AOB内,且满足∠DPA=∠OPE,DP+PE=6.
(1)当DP=PE时,求DE的长;
(2)在点P的运动过程中,请判断是否存在一个定点M,使得的值不变?并证明你的判断.
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