【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AC是⊙O直径,D是的中点,过点D作CB的垂线,分别交CB、CA延长线于点F、E.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若sinE=,求AB:EF的值.
【答案】(1)直线EF与圆O相切,理由见解析;(2)AB:EF=5:9.
【解析】
(1)先判断出∠CBA为直角,再判断出∠F为直角,进而得出AB与EF平行,再由D为的中点,利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB,即可得出结论;
(2)根据角E的正弦值,设出OD=OC=OB=OA=5x,则得出CA=10x,CE=13x,进而得出CE=18x,最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论.
(1)直线EF与圆O相切,理由为:
连接OD,如图所示:
∵AC为圆O的直径,
∴∠CBA=90°,
又∵∠F=90°,
∴∠CBA=∠F=90°,
∴AB∥EF,
∴∠AMO=∠EDO,
又∵D为的中点,
∴,
∴OD⊥AB,
∴∠AMO=90°,
∴∠EDO=90°,
∵EF过半径OD的外端,
则EF为圆O的切线;
(2)在Rt△ODE中,sinE=,
设OD=OC=OA=5x,
∴CA=10x,OE=13x,
∴CE=18x,
∵EF∥AB,
∴△ABC∽△ECF,
∴.
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【题目】如图,内接于,AB是直径,的切线PC交BA的延长线于点P,交AC于点E,交PC于点F,连接AF;
判断AF与的位置关系并说明理由.
若的半径为8,,求AC的长.
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【题目】在中,,BD为AC边上的中线,过点C作于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取,连接BG,DF.
求证:;
求证:四边形BDFG为菱形;
若,,求四边形BDFG的周长.
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【题目】某船自西向东航行,在处测得某岛在北偏东的方向上,前进海里后到达,此时,测得海岛在北偏东的方向上,要使船与海岛最近,则船应继续向东前进________海里.
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【题目】定义符号min{a,b}的含义:当a≥b时,min{a,b}=b;当a<b时,min{a,b}=a,如min{1,﹣4}=﹣4,min{﹣6,﹣2}=﹣6,则min{﹣x2+2,﹣2x}的最大值为( )
A. 2﹣2 B. +1 C. 1﹣ D. 2+2
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【题目】已知正方形ABCD的边长为2,作正方形AEFG(A,E,F,G四个顶点按逆时针方向排列),连接BE、GD,
(1)如图①,当点E在正方形ABCD外时,线段BE与线段DG有何关系?直接写出结论;
(2)如图②,当点E在线段BD的延长线上,射线BA与线段DG交于点M,且DG=2DM时,求边AG的长;
(3)如图③,当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上,直线AB与直线DG交于点M,且DG=4DM时,直接写出边AG的长.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一动点(不与A、B重合),CD⊥AB于D,∠OCD的平分线交⊙O于P,则当C在⊙O上运动时,点P的位置( )
A. 随点C的运动而变化
B. 不变
C. 在使PA=OA的劣弧上
D. 无法确定
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【题目】如图,在四边形ABCD中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点.若AC=10,BD=6,则四边形EFGH的面积为( )
A. 20B. 15C. 30D. 60
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