Question

如图，△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，半圆的圆心O在BC上，半圆与AB、AC分别相切于点D、E，则半圆的半径为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：连接OE，OD，求出四边形ADOE是正方形，推出AE=AD=OD=OE，设OE=AD=AD=OD=R，根据切线性质得出OE∥AB，OD∥AC，推出△CEO∽△ODB，得出比例式，代入求出即可．
解答：连接OE，OD，
∵圆O切AC于E，圆O切AB于D，
∴∠OEA=∠ODA=90°，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠ODA=∠OEA=90°，
∵OE=OD，
∴四边形ADOE是正方形，
∴AD=AE=OD=OE，
设OE=AD=AD=OD=R，
∵∠A=90°，∠OEC=90°，
∴OE∥AB，
∴△CEO∽△CAB，
同理△BDO∽△BAC，
∴△CEO∽△ODB，
∴=，
即=，
解得：R=，
故选A．
点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目具有一定的代表性，难度也适中．