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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弧CDAB,垂足为H,P为弧AD上一点,连接PA、PB,PBCDE.

(1)如图(1)连接PC、CB,求证:∠BCP=PED;

(2)如图(2)过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点E,过点APF引垂线,垂足为G,求证:∠APG=F;

(3)如图(3)在图(2)的条件下,连接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2,求⊙O的直径AB.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)AB=15

【解析】

(1)由垂径定理得出∠CPB=∠BCD,根据∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED即可得证;

(2)连接OP,知OP=OB,先证∠FPE=∠FEP得∠F+2∠FPE=180°,再由∠APG+∠FPE=902∠APG+2∠FPE=180°,据此可得2∠APG=∠F,据此即可得证;

(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点EEM⊥PF,先证∠PAE=∠F,由tan∠PAE=tan∠F,再证∠GAP=∠MPE,由sin∠GAP=sin∠MPE,从而得出,即MF=GP,由3PF=5PG可设PG=3k,得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k,由∠FPE=∠PEFPF=EF=5k、EM=4kPE=2k、AP=k,证∠PEM=∠ABPBP=3k,继而可得BE=k=2,据此求得k=2,从而得出AP、BP的长,利用勾股定理可得答案.

证明:(1)AB是⊙O的直径且ABCD,

∴∠CPB=BCD,

∴∠BCP=BCD+PCD=CPB+PCD=PED,

∴∠BCP=PED;

(2)连接OP,则OP=OB,

∴∠OPB=OBP,

PF是⊙O的切线,

OPPF,则∠OPF=90°,

FPE=90°﹣OPE,

∵∠PEF=HEB=90°﹣OBP,

∴∠FPE=FEP,

AB是⊙O的直径,

∴∠APB=90°,

∴∠APG+FPE=90°,

2APG+2FPE=180°,

∵∠F+FPE+PEF=180°,

∵∠F+2FPE=180°

2APG=F,

∴∠APG= F;

(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点EEMPFM,

由(2)知∠APB=AHE=90°,

AN=EN,

A、H、E、P四点共圆,

∴∠PAE=PHF,

PH=PF,

∴∠PHF=F,

∴∠PAE=F,

tanPAE=tanF,

由(2)知∠APB=G=PME=90°,

∴∠GAP=MPE,

sinGAP=sinMPE,

MF=GP,

3PF=5PG,

PG=3k,则PF=5k,MF=PG=3k,PM=2k

由(2)知∠FPE=PEF,

PF=EF=5k,

EM=4k,

tanPEM=tanF=

tanPAE=

PE=

AP=k,

∵∠APG+EPM=EPM+PEM=90°,

∴∠APG=PEM,

∵∠APG+OPA=ABP+BAP=90°,且∠OAP=OPA,

∴∠APG=ABP,

∴∠PEM=ABP,

tanABP=tanPEM,即

BP=3k,

BE=k=2

k=2,

AP=3、BP=6

根据勾股定理得,AB=15.

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