【题目】如图,AB是⊙O的直径,弧CD⊥AB,垂足为H,P为弧AD上一点,连接PA、PB,PB交CD于E.
(1)如图(1)连接PC、CB,求证:∠BCP=∠PED;
(2)如图(2)过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点E,过点A向PF引垂线,垂足为G,求证:∠APG=∠F;
(3)如图(3)在图(2)的条件下,连接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2,求⊙O的直径AB.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)AB=15
【解析】
(1)由垂径定理得出∠CPB=∠BCD,根据∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED即可得证;
(2)连接OP,知OP=OB,先证∠FPE=∠FEP得∠F+2∠FPE=180°,再由∠APG+∠FPE=90得2∠APG+2∠FPE=180°,据此可得2∠APG=∠F,据此即可得证;
(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点E作EM⊥PF,先证∠PAE=∠F,由tan∠PAE=tan∠F得,再证∠GAP=∠MPE,由sin∠GAP=sin∠MPE得,从而得出,即MF=GP,由3PF=5PG即,可设PG=3k,得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k,由∠FPE=∠PEF知PF=EF=5k、EM=4k及PE=2k、AP=k,证∠PEM=∠ABP得BP=3k,继而可得BE=k=2,据此求得k=2,从而得出AP、BP的长,利用勾股定理可得答案.
证明:(1)∵AB是⊙O的直径且AB⊥CD,
∴∠CPB=∠BCD,
∴∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED,
∴∠BCP=∠PED;
(2)连接OP,则OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∵PF是⊙O的切线,
∴OP⊥PF,则∠OPF=90°,
∠FPE=90°﹣∠OPE,
∵∠PEF=∠HEB=90°﹣∠OBP,
∴∠FPE=∠FEP,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠APB=90°,
∴∠APG+∠FPE=90°,
∴2∠APG+2∠FPE=180°,
∵∠F+∠FPE+∠PEF=180°,
∵∠F+2∠FPE=180°
∴2∠APG=∠F,
∴∠APG= ∠F;
(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点E作EM⊥PF于M,
由(2)知∠APB=∠AHE=90°,
∵AN=EN,
∴A、H、E、P四点共圆,
∴∠PAE=∠PHF,
∵PH=PF,
∴∠PHF=∠F,
∴∠PAE=∠F,
tan∠PAE=tan∠F,
∴,
由(2)知∠APB=∠G=∠PME=90°,
∴∠GAP=∠MPE,
∴sin∠GAP=sin∠MPE,
则,
∴,
∴MF=GP,
∵3PF=5PG,
∴,
设PG=3k,则PF=5k,MF=PG=3k,PM=2k
由(2)知∠FPE=∠PEF,
∴PF=EF=5k,
则EM=4k,
∴tan∠PEM=,tan∠F=,
∴tan∠PAE=,
∵PE=,
∴AP=k,
∵∠APG+∠EPM=∠EPM+∠PEM=90°,
∴∠APG=∠PEM,
∵∠APG+∠OPA=∠ABP+∠BAP=90°,且∠OAP=∠OPA,
∴∠APG=∠ABP,
∴∠PEM=∠ABP,
则tan∠ABP=tan∠PEM,即,
∴,
则BP=3k,
∴BE=k=2,
则k=2,
∴AP=3、BP=6,
根据勾股定理得,AB=15.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为_____.
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【题目】10月13日上午,2019“郑州银行杯”郑州国际马拉松赛在郑东新区CBD如意湖畔鸣枪开赛.今年的比赛共设置全程、半程马拉松和健康跑、家庭跑四个大项,吸引了来自全球32个国家和地区的2.6万名选手参加比赛在男子半程比赛中,中国选手刘洪亮起跑后,一直保持匀速前进,冲刺阶段突然加速,以1小时09分21秒的成绩获得男子半程冠军.下列能够反映刘洪亮在比赛途中速度v与时间t之间的函数关系的大致图象是( )
A.B.
C.D.
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【题目】一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,它们离甲地的路程y(km)与客车行驶时间x(h)间的函数关系如图,下列信息:
(1)出租车的速度为100千米/时;
(2)客车的速度为60千米/时;
(3)两车相遇时,客车行驶了3.75小时;
(4)相遇时,出租车离甲地的路程为225千米.
其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图所示在三角形△ABC中AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则下列四个结论中,①AB上一点与AC上一点到D的距离相等;②AD上任意一点到AB、AC的距离相等;③∠BDE=∠CDF;④BD=CD,AD⊥BC.其中正确的个数是
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
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【题目】如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°
(1) 求证:四边形ABCD是矩形
(2) 若DE⊥AC交BC于E,∠ADB∶∠CDB=2∶3,则∠BDE的度数是多少?
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【题目】在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足为点D,M为线段DB上一动点(不包括端点),点N在直线AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如图①.
(1)求证:∠ACN=∠AMC;
(2)记△ANC得面积为5,记△ABC得面积为5.求证:;
(3)延长线段AB到点P,使BP=BM,如图②.探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M,AN=CP始终成立?(写出探究过程)
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