Question

【题目】如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，连结，已知.

（1）求证：是的切线.

（2）若，求的半径.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图，连结，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠B，由∠CAD=∠B可得∠ODB=∠CAD，根据直角三角形两锐角互余及平角的定义可得∠ADO=90°，即可证明AD是的半径；（2）设的半径为，在Rt△ABC中，根据tanB=可求出AC的长，利用勾股定理可求出AB的长，可用r表示出OA的长，在Rt△ACD中，根据∠CAD=∠B可利用∠B的正切值求出CD的长，利用勾股定理可求出AD的长，在Rt△ADO中，利用勾股定理列方程求出r的值即可得答案.

（1）如图，连结，

∵，

∴∠ODB=∠B，

∵∠CAD=∠B，

∴ODB=∠CAD，

在中，∠CAD+∠CDA=90°，

∴∠ODB+∠CDA=90°，

∴∠ADO=180°-（∠ODB+∠CDA）=90°，

∴，

∴是的切线.

（2）设的半径为，

在中，，

∴，

∴，

∵∠CAD=∠B，

∴在中，tan∠CAD=tan∠B=，

∴，

∴，

在中，，

∴，

解得.