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    【题目】如图，已知等腰中，，点在边的反向延长线上，且，点在边的延长线上，且，设，.

    （1）求线段的长；

    （2）求关于的函数解析式，并写出定义域；

    （3）当平分时，求线段的长.

    【答案】（1）；（2）；（3）

    【解析】

    （1）根据等腰三角形的性质及条件得出△DBA∽△ACE，就可以得出，从而得出结论；
    （2）由△DBA∽△ACE可以得出，进而可以求出AE，再根据△EAC∽△EDA可以得出 再由条件就可以求出解析式，根据三角形的三边关系就可以求出自变量的取值范围；
    （3）根据条件求得△CAB∽△CDA，就可以得出，从而得出，再将y的值代入就可以求出x的值．

    解：（1），

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，，

    ，

    .

    （2），

    ，

    ，

    ，

    ，，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    根据三角形的三边关系可以得出：，

    ，

    .

    （3）平分，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，即，解得，（舍去），即.

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    【题目】如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，连结，已知.

    （1）求证：是的切线.

    （2）若，求的半径.

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    【题目】下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

    已知：⊙O．

    求作：⊙O的内接正三角形．

    作法：如图，

    ①作直径AB；

    ②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；

    ③连接AC，AD，CD．

    所以△ACD就是所求的三角形．

    根据小董设计的尺规作图过程，

    （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

    （2）完成下面的证明：

    证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，

    ∵OC=OB=BC，

    ∴△OBC为等边三角形（_______________）（填推理的依据）．

    ∴∠BOC=60°．

    ∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．

    同理∠AOD=120°，

    ∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．

    ∴AC=CD=AD（_______________）（填推理的依据）．

    ∴△ACD是等边三角形．

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    【题目】山西省第十五届运动会乒乓球比赛于2018年8月13日上午在山西省体育博物馆的比赛场馆内正式拉开了帷幕.第十五届运动会竞技体育组乒乓球项目产生的决赛运动员名单中太原市共27人，其中甲组有甲、乙、丙、丁四名女子运动员，若进行一次乒乓球单打比赛，要通过抽签从中选出两名运动员打第一场比赛.

    （1）若已确定甲打第一场，再从其余三名运动员中随机选取一位，求恰好选中乙的概率；

    （2）若两名运动员都不确定，请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两名运动员的概率.

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    【题目】我省南部的南宫山景区，为吸引游客组团来此旅游特推出了如下门票收费标准：

    标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人

    标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人

    （1）若某单位组织22名员工去南宫山景区旅游，则购买门票共需多少元？

    （2）若某单位共支付南宫山景区门票费用1500元，试求该单位这次共有多少名员工去南宫山旅游.

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    【题目】“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族的光荣传统，某小学校为了解本校3至6年级的3000名学生帮助父母做家务的情况，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．

    （1）四个年级被调查人数的中位数是多少？

    （2）如果把“天天做”、“经常做”、“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么该校3至6年级学生帮助父母做家务的人数大约是多少？

    （3）在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

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    【题目】如图，在中，，三条内角平分线交于点，过点作垂线，分别交、于点、，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的理由.

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    【题目】如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

    （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

    （2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）

    （3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？

    （取）

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    【题目】平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

    （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值．

    （2）当t为何值时，△PQB为直角三角形．

    （3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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