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【题目】用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框,设窗框的高度为x米,窗的透光面积(铝合金所占面积忽略不计)为y平方米.
(1)求y与x之间的函数关系式(结果要化成一般形式);
(2)能否使窗的透光面积达到2平方米,如果能,窗的高度和宽度各是多少?如果不能,试说明理由;
(3)窗的高度为多少时,能使透光面积最大?最大面积是多少?

【答案】
(1)解:设窗框的长为x米,则宽为 (6﹣2x)米,

窗户的透光面积为:y=x (6﹣2x)=﹣ x2+2x


(2)解:令y=2得:2=﹣ x2+2x,整理得:2x2﹣6x+6=0,

∵△=b2﹣4ac=﹣12<0,

∴此方程无解,

∴不能使窗的透光面积达到2平方米


(3)解:∵y=﹣ x2+2x=﹣ (x﹣1.5)2+1.5,

∵a=﹣ <0,

∴y有最大值,当x=1.5时,y的最大值是1.5.

答:窗的高度1.5米时,能使透光面积最大,最大面积是1.5米2


【解析】(1)设窗框的长为x米,则宽为 (6﹣2x)米,进而得出函数关系式即可;(2)令y=2,代入函数关系式,则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可;(2)根据面积公式列出二次函数解析式,用配方法求其最大值即可.

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解:设x2=y,则原方程可化为:4y2﹣8y+3=0
∵a=4,b=﹣8,c=3
∴b2﹣4ac=﹣(﹣8)2﹣4×4×3=16>0
∴y= =
∴y1=
∴y2=
∴当y1= 时,x2=
∴x1= ,x2=﹣ ;当y1= 时,x2=
∴x3= ,x4=﹣
小试牛刀:请你解双二次方程:x4﹣2x2﹣8=0
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