Question

【题目】阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值．例如解：4x4﹣8y2+3=0
解：设x2=y，则原方程可化为：4y2﹣8y+3=0
∵a=4，b=﹣8，c=3
∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0
∴y= =
∴y1= ，
∴y2=
∴当y1= 时，x2=
∴x1= ，x2=﹣ ；当y1= 时，x2=
∴x3= ，x4=﹣
小试牛刀：请你解双二次方程：x4﹣2x2﹣8=0
归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是（选出所有的正确答案）
①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③当b2﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：x4﹣2x2﹣8=0
设y=x2 ， 则原方程变为：y2﹣2y﹣8=0．
分解因式，得（y+2）（y﹣4）=0，
解得，y1=﹣2，y2=4，
当y=﹣2时，x2=﹣2，x2+2=0，△=0﹣4×2＜0，此方程无实数解；
当y=4时，x2=4，解得x1=﹣2，x2=2，
所以原方程的解为x1=﹣2，x2=2．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④；
故答案为①②③④．
先设y=x2 ， 则原方程变形为y2﹣2y﹣8=0，运用因式分解法解得y1=﹣2，y2=4，再把y=﹣2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．