Question

10．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线与点F．
（1）在图?中当CE=CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．
（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图?），请求出∠BDG的度数．
（3）如图?，根据（1）的条件和结论，若∠BAD=60°，且FG∥CE，FG=CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角∠CEF=∠F，利用四边形ABCD是平行四边形，可得∠FAD=∠FEC∠BAF=∠F，等量关系可得∠BAF=∠DAF，即可求解．
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．
（3）延长AB，FG相较于H，连接EG，DH，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△AHD、△FHD是等边三角形，求证△BHD≌△GFD，即可求得答案．

解答 （1）证明：如图1，∵CE=CF 
∴∠CEF=∠F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠FAD=∠FEC，∠BAF=∠F，
∴∠BAF=∠FAD，
∴AF是∠BAD的平分线；                          
（2）解：如图2，连接CG，BG
在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCF=180°-90°=90°，
又∵CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，即：∠CEF=∠F=45°，
由（1）可得：∠FAD=∠CEF=∠F=45°，
∴AD=DF=BC，
又∵G是EF的中点，
∴CG=GF，∠ECG=∠F=45°，∠CGF=90°，
在△BGC与△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BC}\\{∠ECG=∠F}\\{CG=GF}\end{array}\right.$，
∴△BGC≌△DGF（SAS），
∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，
∴∠BGD=∠CGF=90°
∴△BGD是等腰直角三角形，即：∠BDG=45°；
（3）解：如图3，延长AB，FG相较于H，连接EG，DH．
∴GF∥CE，GF=CE
∴四边形EGFC是平行四边形．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形
由（1）可得：AD=DF，CE=CF
∴平行四边形EGFC是菱形．平行四边形AHFD是菱形．
∵∠BAD=60°
∴△AHD、△FHD是等边三角形，即∠ADH=∠FDH=60°，
在△BHD与△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=DF}\\{∠BHD=∠GFE}\\{BH=GF}\end{array}\right.$，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∠BDH=∠GDF，
∴∠BDG=60°．

点评 此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．同学们在解决此类问题时，可以通过以下的步骤进行思考和分析：（1）通过测量或特殊情况的提示进行猜想；（2）根据猜想的结果进行联想（如60度角可以联想到等边三角形，45度角可以联想到等腰直角三角形等）；（3）在联想的基础上根据已知条件利用几何变换（如旋转、平移、轴对称等）构造全等解决问题．