Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DB，DC．

（1）求抛物线的解析式.

（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC的周长最小，若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝3；（3）点Q的坐标为（1，）．

【解析】

（1）由A、B两点坐标可得抛物线两点式解析式，进而可求出a值，即可得答案；（2）设直线BC的表达式为y=kx+b，根据抛物线的解析式可得C点坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式，设点D（m，），过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，可得点H（m，），根据三角形面积公式列方程求出m的值即可；（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的轴对称与BC的交点即为点Q，根据二次函数解析式可得对称轴方程，把对称轴方程代入BC解析式即可求出Q点纵坐标，即可得答案.

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），

∴抛物线解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，

∴﹣8a＝6，

解得：，

故抛物线的表达式为：；

（2）设直线BC的表达式为y=kx+b，

∵抛物线与y轴交于点C，

∴点C（0，6），

将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，

解得：，

∴直线BC的表达式为：，

如图1，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，

设点D（m，），则点H（m，）

S△BDC＝HD×OB＝2（）＝2（），

S△ACO＝××6×2＝，

∴2（﹣m2+3m）＝，

解得：m＝3或m=1（舍去），

∴m＝3；

（3）如图2，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△QAC的周长最小，连接BC，

∵A、B两点关于对称轴对称，

∴QA=QB，

∴QA+QC=QC+QB，

∴BC为QA+QC的最小值，即△QAC的周长最小.

∴抛物线的轴对称与BC的交点即为点Q，

∵抛物线的轴对称为x＝1，

∴把x＝1代入直线BC的表达式得，

∴点Q的坐标为（1，）．