【题目】如图,已知A,B两点的坐标分别为(2,0),(0,2),⊙C的圆心坐标为(-1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E ,则△ABE面积的最小值是 _____
【答案】
【解析】
根据三角形的面积公式,△ABE底边BE上的高AO不变,BE越小,则面积越小,可以判断当AD与⊙C相切时,BE的值最小,根据勾股定理求出AD的值,然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度,代入三角形的面积公式进行计算即可求解.
解:如图所示,当AD与⊙C相切时,BE最短,此时△ABE面积最小,
∵A(2,0),C(-1,0),⊙C半径为1,
∴AO=2,AC=2+1=3,CD=1,
在Rt△ACD中,AD=,
∵CD⊥AD,
∴∠D=90°,
∴∠D=∠AOE,
在△AOE与△ADC中,,
∴△AOE∽△ADC,
∴
即,
解得EO=,
∵点B(0,2),
∴OB=2,
∴BE=OB-OE=2-,
∴△ABE面积的最小值=×BE×AO=(2-)×2=2-.
故答案为:2-.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴交于点C.点D是抛物线上的一个动点,点D的横坐标为m(1<m<4),连接AC,BC,DB,DC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时,求m的值.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC的周长最小,若存在,求出点Q的坐标.
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【题目】如图,二次函数的图像经过点,与轴交于点,、分别为轴、直线上的动点,当四边形的周长最小时,所在直线对应的函数表达式是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图1,两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现:如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是 ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 .
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,请猜想(1)中S1与S2的数量关系是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,BD平分∠ABC,BD=CD,BC=9,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请求相应的BF的长.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,CD=6,OA交BC于点E,
求(1)∠DBC的度数;(2)弦AD的长度.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段CF的长.
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【题目】已知关于的方程.
(1)求证:无论取何值,这个方程总有实数根.
(2)若方程的两根都是正数,求的取值范围.
(3)以方程的两根为两边,斜边为,求的值.
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