Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CF＝4．

【解析】

（1）连接OC，根据平行线的性质得到∠1＝∠ACB，由圆周角定理得到∠1＝∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，求得∠DBE＝∠DCE，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到结论；（2）证明△AOC是等边三角形，解Rt△COF即可得到结论；

解：

（1）证明：如图，连接OC，

，

∵OE∥AC，

∴∠1＝∠ACB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠1＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴∠DBE＝∠DCE，

又∵OC＝OB，

∴∠OBE＝∠OCE，

即∠DBO＝∠OCD，

∵DB为⊙O的切线，OB是半径，

∴∠DBO＝90°，

∴∠OCD＝∠DBO＝90°，

即OC⊥DC，

∵OC是⊙O的半径，

∴DC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，

∴∠3＝60°，又OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠COF＝60°，

在Rt△COF中，tan∠COF＝，

∴CF＝；