Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC．

（1）请直接写出二次函数的解析式．

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直角三角形，证明见解析；（3）（3，0）或（-8，0）或（，0）或（，0）

【解析】

(1)根据待定系数法即可求得;
(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形
(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标

(1)∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),

∴
解得
∴抛物线表达式：

△ABC是直角三角形.
令y=0,则
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形

(3)∵A(0,4),C(8,0),
AC==4,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(,0)或(,0)
③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、(,0)、(3,0)、,0)