Question

9．已知一次函数y=kx+b的图象经过点M（-1，3）、N（1，5）．直线MN与坐标轴相交于点A、B两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）如图1，点C与点B关于x轴对称，点D在线段OA上，连结BD，把线段BD顺时针方向旋转90°得到线段DE，作直线CE交x轴于点F，求$\frac{DF-DA}{EF}$的值．
（3）如图2，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，$\frac{BQ}{OP}$的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，过点E作EP⊥x轴，先证明△BDO≌△DEP，设D（-a，0），则E（4-a，-a），求出直线CE解析式，求出点F坐标，用a的代数式表示DF、AD、EF即可解决问题．
（3）如图2中，连结BM，由△BOM≌△AOP，推出∠MBO=∠PAO=135°，推出∠MBP=90°，推出QB=QP，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点M（-1，3）、N（1，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴一次函数解析式为y=x+4．
（2）如图1中，过点E作EP⊥x轴，

∵∠BDO+∠EDP=90°，∠EDP+∠DEP=90°，
∴∠BDO=∠DEP，∵∠DOB=∠DPE=90°
在△BOD和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDO=∠DEP}\\{∠BOD=∠EPD}\\{BD=DE}\end{array}\right.$
∴△BDO≌△DEP，设D（-a，0），则E（4-a，-a）
设直线CE解析式是：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}0+b=-4\\（{4-a}）k+b=-a\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-4\end{array}\right.$
∴y=x-4，
∴F（4，0），DF=4+a，DA=4-a，EF=$\sqrt{2}a$，
∴$\frac{DF-DA}{EF}=\sqrt{2}$

（3）如图2中，连结BM，

∵OA=OB，∠POM=∠AOB=90°，
∴∠POA=∠BOM，∠OAB=∠OBA=45°，
∵四边形OPNM是正方形，
∴OP=OM，
在△OBM和△OAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=OP}\\{∠BOM=∠AOP}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△AOP，
∴∠MBO=∠PAO=135°，
∴∠MBP=90°
在Rt△MBP中BQ=$\frac{1}{2}$MP，
在Rt△MOP中MP=$\sqrt{2}$OP，
∴$\frac{BQ}{PO}$=$\frac{PQ}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．