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11、若a1,a2,…,an是1,2,…,n的任意一个排列(n是奇数),则(a1-1)(a2-2)…(an-n)是偶数.
分析:由a1,a2,…,an是1,2,…,n的任意一个排列(n是奇数),可得a1+a2+…+an=1+2+…+n,(a1-1)+(a2-2)+…+(an-n)=0是偶数,根据奇数个数的和为偶数,则其中必至少有一个是偶数的性质即可证明.
解答:证明:∵a1,a2,…,an是1,2,…,n的任意一个排列(n是奇数),
∴a1+a2+…+an=1+2+…+n,
∴(a1-1)+(a2-2)+…+(an-n)=0是偶数,
∴(a1-1),(a2-2),…,(an-n)中必至少有一个是偶数,
∴(a1-1)(a2-2)…(an-n)是偶数,
即证之.
点评:本题考查了整数的奇偶性问题,难度一般,关键是掌握奇数个数的和为偶数,则其中必至少有一个是偶数.
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已知:△ABC中,AB=a.
如图(1),若A1、B1分别是CA、CB的中点,则A1B1=
a
2

如图(2),若A1、A2、B1、B2分别是CA、CB的三等分点,则A1B1+A2B2=
2+1
3
a=a;
如图(3),若A1、A2、A3、B1、B2、B3分别是CA、CB的四等分点,则A1B1+A2B2+A3B3=
1+2+3
4
a=
3
2
a;
如图(4),若A1、A2、A3、…A9、B1、B2、B3、…B9分别是CA、CB的十等分点,则A1B1+A2B2+A3B3+…+A9B9=
 

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0
0

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