Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，作出∠A的平分线AD和AB边上的中线CE（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）完成（1）题的作图后，若AB=AC=2，在AD上存在一点P，可以使得BP+EP最小，作出这个点P（不必写出理由），并写出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）分别作出∠A的平分线AD，再作出AB的垂直平分线，进而得出AB边上的中线CE；
（2）作E点关于AD的对称点E′，进而利用等腰直角三角形的性质得出BE′的长度即可．

解答：解：（1）如图1所示：

（2）如图2，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，AD是∠A的平分线，
∴AD⊥BC，AM=BM=MC，∠ACB=∠ABC=45°，BC=

22+22

=2

2

，
∴AM=BM=CM=

2

，
∴作E点关于AD的对称点E′，连接BE′，交AD于点P，此时BP+EP最小，
过点E′作E′F⊥BC于点F，
∵E为AB中点，
∴E′是AC中点，E′F∥AM，
∴E′F=FC=

1

2

AM=

2

2

，
∴BF=BM+MF=

2

+

2

2

=

3 2

2

，
∴BE′=

( 3 2 2 )2+( 2 2 )2

=

5

．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及基本作图，根据轴对称性质得出E′位置，进而利用勾股定理得出是解题关键．