Question

8．已知抛物线y=-x²+bx+c交x轴于C（1，0），D（3，0）两点（点C在点D的左侧），点A为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点C和点D的坐标代入抛物线y=-x²+bx+c得出方程组，解方程组即可；
（2）分三种情况：①当BA=BC时；②当AB=AC时；③当CB=CA时；分别得出点B的坐标即可．

解答 解：（1）把C（1，0），D（3，0）代入y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y═-x²+4x-3；
（2）∵y═-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点A的坐标为（2，1），△ACB是等腰三角形，分三种情况：
①当BA=BC时，
∵OE=2，OC=1，AE=1，
∴CE=OE-OC=1=AE，△ACE是等腰直角三角形，点B与点E重合，
∴B（2，0）；
②当AB=AC时，如图1所示：
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$，
∴点B的坐标为（2，1+$\sqrt{2}$）或（2，1-$\sqrt{2}$）；
③当CB=CA时，如图2所示：
点B与点A关于x轴对称，点B的坐标为（2，-1）；
综上所述：△ACB是等腰三角形时，点B的坐标为（2，0）或（2，1+$\sqrt{2}$）或（2，1-$\sqrt{2}$）或（2，-1）．

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定、坐标与图形性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论才能得出结果．