Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是⊙O的切线．

（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；

（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．

（1）∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB为圆的半径，

∴PB为圆O的切线；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，

根据勾股定理得：PD==5，

∵PD与PB都为圆的切线，

∴PC=PB=3，

∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，

在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，

根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，

解得：r=，

∴OP=，

∵∠E=∠PBO，∠DPE=∠OPB，

∴△DEP∽△OBP，

∴，

∴DE=．